Correction des exercices : intro ev

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Contenu du cours

Correction de l'exercice 1

1. On pose  $u=\left(x,y,z,t\right)$ et $v=\left(x',y',z',t'\right)$ où $(x, \;y, \; z, \; t, \; x', \; y', \; z', \;  t') \in \mathbb{R}^8$.

Comme $u+v=\left(x+x', y+y'+z+z',t+t'\right)$ et  $u-v=\left(x-x', y-y'+z-z',t-t'\right)$ , alors on obtient les systèmes suivants :

$\left\{\begin{array}{c}x+x'=6\\y+y'=2\\z+z'=4\\t+t'=9\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{lll}x-x'&=&8\\y-y'&=&-4\\z-z'&=&4\\t-t'&=&-3 \end{array}\right.$

D'où

$\left\{\begin{array}{c}x+x'=6\\x-x'=8\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{c}y+y'=2\\y-y'=-4\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{c}z+z'=4\\z-z'=4\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{c}t+t'=9\\t-t'=-3\end{array}\right.$.

Ce qui donne facilement $u=\left(7,-1,4,3\right)$ et $v=\left(-1,3,0,6\right)$ .

1. L'opposé de $u$ est $-u = \left(-7,1,-4,-3\right)$ .

L'opposé de  $v$ est $-v = \left(1,-3,0,-6\right)$ .

1. On obtient  $w =2u +3v = \left(11,7,8,24\right)$ .

Correction de l'exercice 2

L'ensemble $E$ ne contient pas le vecteur nul $0_3$ puisque $0+0+0 \lt 2$  donc $E$ n'est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

L'ensemble $F$ contient le vecteur nul. Par contre le vecteur $\left( -1,1\right)$ appartient à  $F$ mais pas son opposé $\left(1,-1\right)$ donc $F$ n'est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Correction de l'exercice 3

L'égalité  $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = x^{2}+ y^{2}+ z^{2} + 3$ est  équivalente à  $2x - 2y - 2z = 0$,

ce qui équivaut à $x - y - z = 0$. C'est l'équation d'un plan passant par   l'origine. Par conséquent  $G$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.